Théorèmes et définitions de géométrie plane
étudiés en 6ème
et 5ème , ils doivent être connus de tous les élèves de 4ème
…
Parallèles et sécantes
Par
deux points distincts passe une droite unique.
Deux
droites qui n’ont pas de point commun sont strictement
parallèles.
Deux
droites sont parallèles si elles sont confondues ou bien strictement
parallèles.
Par
un point passe une droite unique parallèle à une droite donnée.
Deux
droites non parallèles sont sécantes :
elles ont un seul point commun : leur point
d’intersection.
Si
plusieurs droites ( 3 ou plus ) se croisent en un seul point, elles sont concourantes.
Si
deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est
parallèle à l’autre et toute droite sécante à l’une est sécante à l’autre.
Perpendiculaires
Deux
droites se croisant en angles droits sont perpendiculaires.
Si
deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Par
un point passe une droite unique perpendiculaire à une droite donnée.
Distances et longueurs
Une droite n’a pas de longueur, une
demi-droite non plus ! ( elles sont infinies…)
Quels que soient les points A, B et
C : AC £ AB + BC
( c’est l’inégalité triangulaire
)
De plus ,
AC = AB + BC
uniquement lorsque le point
B est sur le segment [AC] .
La
distance d’un point à une droite (ou à
une demi-droite) est la distance minimum de ce point à un point de la
droite (ou de la demi-droite).
Médiatrices
La
droite passant par le milieu d’un segment et qui est perpendiculaire à ce
segment est la médiatrice de ce segment.
Si
un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des
extrémités de ce segment.
Si
un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il est sur la
médiatrice de ce segment.
Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit du triangle.
Médianes
Une droite passant par un sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé est une médiane du triangle.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle. Il est situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.
Hauteurs
Une droite passant par un sommet d’un triangle perpendiculaire au côté opposé est une hauteur du triangle.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est l’orthocentre du triangle.
Le point d’intersection d’un côté et de la hauteur qui lui est perpendiculaire est le pied de cette hauteur.
Le mot « hauteur » désigne également la distance entre le pied d’une hauteur et le sommet par lequel elle passe.
L’aire d’un triangle est égale au
demi-produit d’un côté par la hauteur qui lui est perpendiculaire : A
= 
; son périmètre est la somme des longueurs de ses trois
côtés.
Angles
Un angle plein mesure 360 ° ; un angle nul mesure 0 ° ; un angle plat mesure 180 ° ; un angle droit mesure 90 ° .
Un angle mesurant entre 0° et 180° est un angle saillant ; un angle mesurant entre 180° et 360° est un angle rentrant.
Un angle mesurant entre 0° et 90° est un angle aigu ; un angle mesurant entre 90° et 180° est un angle obtus.
La somme des mesures des 3 angles d’un triangle est 180 ° .
Bissectrice
La demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux est la bissectrice de cet angle.
Si
un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des
côtés de cet angle.
Si
un point est à égale distance des côtés d’un angle, alors il est sur la
bissectrice de cet angle.
Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est le centre du cercle inscrit du triangle.
Symétrique d’un point par rapport à une
droite ( symétrie axiale ou orthogonale)
Si un point M est en dehors d’une droite D et si M’ est son symétrique par rapport à D, alors D est la médiatrice du segment [MM’]. Si un point N est sur D, alors son symétrique par rapport à D est N lui même.
On dit aussi que M’ est l’image de M par la symétrie axiale ( ou orthogonale) d’axe D.
N est sa propre image par la symétrie d’axe D.
Symétrique d’un point par rapport à un
autre point ( symétrie centrale)
Si le point M’ est le symétrique du point M par rapport au point O, alors O est le milieu du segment [MM’].
On dit aussi que M’ est l’image de M par la symétrie centrale de centre O.
Les symétries axiales et centrales conservent :
* les longueurs * le parallélisme
* les alignements * les angles
* les milieux * les aires
Axes de symétrie
Si l’image d’une figure par une symétrie axiale d’axe une droite D est la figure elle même, alors cette droite D est une axe de symétrie de cette figure.
Centres de symétrie
Si l’image d’une figure par une symétrie centrale de centre un point O est la figure elle même, alors ce point O est une centre de symétrie de cette figure.